Algèbre linéaire Exemples

$3 x + 6 y = 9$ , $5 x + 10 y = 15$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 6 & 9 \\ 5 & 10 & 15 \end{array}]$

Étape 2

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{6}{3} & \frac{9}{3} \\ 5 & 10 & 15 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 10 - 5 \cdot 2 & 15 - 5 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x + 2 y = 3$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = 3 - x$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 3 - x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 3 - x$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- x}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- x}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- x}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3}{2} - \frac{x}{2}$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, \frac{3}{2} - \frac{x}{2})$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{3}{2} - \frac{x}{2} \end{array}]$